无理数是如何被发现的。我们常常会找到认为是古希腊人——尤其是梅塔庞托的希伯斯——发现了无理数的书。回想一下，希伯斯证明了正方形（或正五边形）的边和对角线不可公度。我们今天把它视作无理数的存在证明。但古希腊人以及后世的许多代数学家都不这么认为。希伯斯的发现只是一个有关量的事实，而不是关于数的。无理数还要再等数个世纪才能被称作数。

第一个发现无理数的人是古希腊数学家毕达哥拉斯的得意门生希伯斯。他这一发现与当时的毕达哥拉斯学派不符，该学派认为数只包括整数和分数，因此还导致了第一次数学危机。这一发现推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了该学派的基础，为此引起了他们的恐慌。后来，希伯斯在返回希腊的一条海船上，被毕达哥拉斯的忠实门徒残忍地扔进了地中海。可尽管希伯斯被害死了，可他发现的“新数”依然存在着。

数学史上三次危机是什么？第一次危机：无理数的诞生。几何量不能完全由整数及其比来表示，挑战了“万物皆数”。第二次危机：无穷小是否趋近于零？微积分理论建立在无穷小分析之上，但“无穷小量”概念并不清晰。第三次危机：罗素悖论对康托尔集合论的挑战（此危机还未彻底解决）。理发师宣布，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子，他自己属于这个“集合”吗？三次危机在当时引起了极大恐慌，甚至引发了命案。如发现无理数的希伯斯，被扔到海里喂了鲨鱼；而康托尔由于学术观点受到打击，为数学而“疯”，后死在了精神病医院里。

罗滕堡 德国浪漫之路上靓的小镇在德国，“浪漫之路”与莱茵河谷、黑森林、阿尔卑斯山区一样的著名，它北起维尔茨堡，南到新天鹅堡附近的弗森小镇，全长360多公里，途中经过众多保存完好的中世纪小城小镇和城堡。2019年夏天27天的德国自驾旅行，我们并未完全走这条浪漫之路，而是把这条路上经典的部分纳入其中，罗滕堡就是其中之一。我不知用什么词汇形容这座小城，城内几乎所有的“点”，都会激起我的兴致，它是此次德国旅行“刺激”我的地方之一。小城故事太多，我想就从古城的四座城门说起吧！我们的车停在北门停车场，图1就是北门塔楼，也叫“克林根门”，门外是罗滕堡著名的沃尔夫冈教堂，教堂即深邃神秘，又带着艺术气息，《圣经》中，沃尔夫冈被视为牧羊人的守护神。图3是东门塔楼，也叫“罗德塔”，它是古城四座城门可以登顶的塔楼。这里要讲一个温馨的小故事。对于古迹，媳妇是不大喜欢的，因为罗滕堡小城很热闹，她又想在小街里的工艺品店转悠，于是，我们“分道扬镳”，这一分就分出“事儿”了。东门塔楼是需要购票进入的，但售票处在塔顶，我根本不知道。费了好大劲登上塔顶，瞬间傻眼了，兜里一个铜板没带。门票两欧，但不买票怎么可以进入呢？守门人问我是否买票，我告诉她没带钱。结果，那位老妇人哈哈大笑，从售票厅里走出，拉着我的胳膊，很客气地把我请进了塔楼的观景台。这事儿让人感动吗？其实，这样暖心的小事，在德国旅行路上遇到好几次。图4是塔楼外著名的罗德拱门，那是一座十四世纪的建筑，直到今天，依然保留着中世纪的海关小屋和卫兵小屋。图5是南门塔楼，也是南门外“斯比尔要塞”的后一道门楼，图6是要塞的第二道门楼。斯比尔要塞建于十七世纪，是整个古城坚固的防御工事，要塞有七道城门，两段回廊，外加炮台、壕沟等，至今保存的相当完好。图7是西门塔楼，也叫“城堡之门”，它的大特色就是门楼上有一张“鬼脸”，如果有人攻城，守城者就可以从鬼脸的嘴里倾倒滚烫的开水。西门外是城堡花园，漫步花园可以俯瞰陶伯河谷。图9、10是古城保存特别完好的中世纪城墙，城墙环绕古城一周，总长3.5公里，每座城门塔楼旁都有登上城墙的步梯。我觉得，当小城里的小广场和小街巷缀满游客时，漫步在城墙上长长的木质长廊内，是躲清静的好去处。今天见到的城墙，是在近四十年里慢慢修复的，很多砖石上刻有捐款人的名字。城墙被城门和塔楼连接着，但古城内可不仅有上面说的四座城门，古老的城门是图11的白塔和图12的马库斯塔。白塔是古城内古老的门楼，建于十二世纪，塔旁是一家犹太餐厅，中世纪时期，那里是犹太人生活的中心区。马库斯塔建于十三世纪初，是古城美的塔楼，有意思的是塔顶是一对仙鹤的家。罗滕堡古城内藏着太多小故事，图13是古城内年代久远的小街，带着光泽的石块小路告诉人们，它已经被踩踏了近千年。图14是市政厅的一部分，因为另一部分在维修，无法拍照，哥特式和文艺复兴风格混搭的老房子，已经存在了六百多年。图15是一家铁匠铺，半木结构的异形小楼，洋溢着浓郁的艺术气息。图16是古城内著名的圣雅各布教堂，教堂内的圣血祭坛描绘了耶稣“后的晚餐”的景象。图17叫“步云莱”，罗滕堡古城内著名的标志性景观，步云莱在古城南端，石板路在那里一分为二，呈“Y”字形一上一下，随地势形成不同坡度。小巷两侧是传统的木架小屋，中间矗立小小的喷泉雕塑。上坡方向的塔楼叫希伯斯门，下坡方向的塔楼叫考伯尔策勒门，它们都建于十四世纪，也是古城重要的防御设施。步云莱是罗滕堡特色街景的缩影，走在其中，感慨连连。图18是城内的餐馆，一百年多的老店，在古城却不敢称“老”，餐馆房墙爬满藤蔓，在德国，这样的餐馆比比皆是。本来想在此来顿午餐，结果人家中午12点才开门迎客。其实，我在城内拍了好多餐馆，但无法放进下面的相册。餐馆，表现的依然是一个国家的文化，它已经不仅是一种美，更多的是历史和文化的沉淀。走在路上，我特别喜欢观察细节，不想证明什么，只想学点东西，让自个儿的生活变得更有趣些。对比很重要，对比，才能看到差距；对比，才能明白什么叫美妙生活；对比，才能让自己少一点自大。罗腾堡在德国很著名，完全称得上德国小镇的代表，因为古城内的建筑隐含着普鲁士和波西米亚风格，它也是中欧历史的见证者。#希伯斯简介#

第一次危机：无理数的诞生。几何量不能完全由整数及其比来表示，挑战了“万物皆数”。第二次危机：无穷小是否趋近于零？微积分理论建立在无穷小分析之上，但“无穷小量”概念并不清晰。第三次危机：罗素悖论对康托尔集合论的挑战（此危机还未彻底解决）。理发师宣布，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子，他自己属于这个“集合”吗？三次危机在当时引起了极大恐慌，甚至引发了命案。如发现无理数的希伯斯，被扔到海里喂了鲨鱼；而康托尔由于学术观点受到打击，为数学而“疯”，后死在了精神病医院里。

数学史上的三次危机第一次危机：无理数的诞生。几何量不能完全由整数及其比来表示，挑战了“万物皆数”。第二次危机：无穷小是否趋近于零？微积分理论建立在无穷小分析之上，但“无穷小量”概念并不清晰。第三次危机：罗素悖论对康托尔集合论的挑战（此危机还未彻底解决）。理发师宣布，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子，他自己属于这个“集合”吗？三次危机在当时引起了极大恐慌，甚至引发了命案。如发现无理数的希伯斯，被扔到海里喂了鲨鱼；而康托尔由于学术观点受到打击，为数学而“疯”，后死在了精神病医院里。

第一次危机：无理数的诞生。几何量不能完全由整数及其比来表示，挑战了“万物皆数”。第二次危机：无穷小是否趋近于零？微积分理论建立在无穷小分析之上，但“无穷小量”概念并不清晰。第三次危机：罗素悖论对康托尔集合论的挑战（此危机还未彻底解决）。理发师宣布，他只给“不给自己刮胡子的人”刮胡子，他自己属于这个“集合”吗？三次危机在当时引起了极大恐慌，甚至引发了命案。如发现无理数的希伯斯，被扔到海里喂了鲨鱼；而康托尔由于学术观点受到打击，为数学而“疯”，后死在了精神病医院里。

√（2）≈1.414，由希伯斯在研究边长为1的正方形对角线时发现,并证明它为无理数。也用于形容人身高矮小，√（2）姐。[奸笑][奸笑]