一、阿基米德折弦定理

1、∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.

2、如图，在⊙O中，点E是弧AC的中点，点B为弧AE上任意一点，ED⊥BE，垂足为D，则AB+BD=CD.

3、阿基米德冥思苦想了好几天，不得其解。有一天，阿基米德去洗澡，由于澡盆里的水太满，他一进澡盆，水就向外溢，而且感到水对身体有托力。他用身体沉浮多次来体验浮力的大小，领悟到身体排开的水越多，浮力就越大。他立即联想到王冠如果掺银子，必然比同样重量的金子体积大，放入水中所受的浮力就会比纯金的大。阿基米德立刻跳出澡盆，狂喜地跑过人流熙攘的大街，直向王宫奔去，嘴里喊着：“找到了！找到了！”后来经过阿基米德严格检验，证明王冠里确实用银子掺了假，工匠也被国王治了罪。

4、 阿基米德在天文学方面也有出色的成就。

5、"阿基米德折弦定理"：AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即AB＋BG＝GC。参见http://baike.baidu.com/view/13851htm?fr=ala0

6、又∠MGB=∠MCB+∠GMC

7、△ABP≌△DCP(SSS)，

8、刘耀忠——对二次函数拟合问题的一点思考

9、阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.

10、又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,

11、2022届湖北重点高中联考压轴题解法荟萃

12、则∠XBE=∠XNE=∠DNC=∠DAC=∠DAB,

13、有想找我约课的赶紧联系我，抢占黄金时间段。

14、∵M、B、A、C、四点共圆，

15、∴∠EBA=∠EBF，

16、一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。阿基米德阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来伟大的数学家之一。他与牛顿、高斯并称为三大数学王子。如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。他甚至被人尊称为“数学之神”。

17、投稿邮箱：zoushengshu@1com；

18、阿基米德折弦定理的探究及应用

19、今天专门把阿基米德折弦定理拿出来，供老师和学生们学习研究

20、∴∠EBC=∠EAC，

二、阿基米德折弦定理

1、"阿基米德折弦定理"：AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足G是折弦ABC的中点，即AB＋BG＝GC。

2、EAFI共圆∠FAI=∠IEN=∠IFN；

3、∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.

4、如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中点，MD⊥AB，垂点为D。则AD=BD+BC。

5、邹生书：一题多构殊途同归不等式与方程齐飞

6、一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！(意为发现了)”。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了”，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看

7、前面同思路证明IJ⊥AC时联想到阿基米德折弦定理，从而找到了纯几何几何方法证明：

8、关于这类线段关系类的证明题，我们可以从“截长补短”和“全等”的方向来探索方法解决问题。

9、∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

10、∴∠MCA+∠MBA=180°

11、阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其网平行弦线所围成图形的重心的方法。阿基米德证明物体在液体中所受浮力等于它所排开液体的重量，这一结果后被称为阿基米德原理。

12、阿基米德研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是因为纪念他而命名。另外他在《数沙者》一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。

13、彭光焰——巧构造妙解题

14、摘要：阿基米德是有史以来大伟大的数学家之他与牛顿、高斯并称世界三大数学王子.他提出的著名折弦定理是圆中著名的定理之是学习圆的重要知识之

15、杨俊——对抛物线内接三角形外接圆半径小值问题的深度研究

16、阿基米德和雅典时期的科学家有着明显的不同，就是他既重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明；又重视科学知识的实际应用。

17、即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

18、则∠ABN=∠ACN=∠EXN,

19、变式思考，探索新结论

20、刘耀忠——例析与双曲线渐近线有关的九种问题

三、

1、定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

2、 公元前二一二年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。阿基米德的成就。 阿基米德无可争议的是古代希腊文明所产生的伟大的数学家及科学家，他在诸多科学领域所作出的突出贡献，使他赢得同时代人的高度尊敬。

3、怎么样？听了这么多知识，是不是有些迷糊？对于折弦定理这样高端大气上档次的神器既有敬畏之心，又想将其收入囊中，在解题中发挥更大的作用？不必心急，都说“数学难，难于上青天”，而对于定理的一步步掌握无疑就是一步步构建天梯的过程．一步步稳妥地来，你终究会离想要触及到的顶峰越来越近．愿大家在数学学习中都学有所成，离自己所想要到达的目标更进一步！

4、则IN⊥EF；从而NE=NFIN为EF中垂线

5、为了更好理解两个推论，我们引进一个新概念：

6、因为m是它的外接圆上包含点c的弧ab的中点

7、如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，

8、阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。

9、阿基米德有许多发现，其中著名的要算浮力定律——阿基米德定律了。

10、∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

11、已知：若M点在劣弧AB上，作MN⊥AC交AC于N点．

12、按照基本套路作出北极点I，

13、阿基米德折弦‍定理及其逆定理以前听说过也见过。

14、阿基米德在数学上也有着极为光辉灿烂的成就，特别是在几何学方面。

15、点评：解答时，用到了常用截长法，熟练掌握截长法的精髓，是解题的关键一环；其次，灵活运用等腰三角形的性质，圆周角定理，手拉手三角形全等的判定和性质，都是解题要和谐解题所必需的解题要素.

16、彭光焰：一道上海竞赛题的五个角度十二种解法

17、从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.

18、阿基米德(公元前287年—公元前212年)，我国历史上和他同时代的人自然就是大名鼎鼎的秦始皇。他是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”

19、大家有什么意见也可以提。

20、叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重。国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。

四、

1、作EX//AC且C、N、X共线；

2、阿基米德发现浮力定律的故事被广为流传。据说阿基米德为了帮助叙拉古的国王戳穿金匠掺假造皇冠一事，得想办法测量出形状复杂的皇冠的体积，为此阿基米德绞尽了脑汁未得其法。

3、关键词：阿基米德；折弦定理

4、推论1：折弦角两边之积等于非折点弧中点和折点连线与非折点弧中点和非折点连线的平方差.

5、王安平——反函数法再解“指对不等式”恒成立问题

6、山东沂源县张家坡中心学校张明忠

7、20191018—20200618受读者欢迎的70篇文章链接

8、点评：解答时，用到了四个知识点：一是同圆或等圆中，等弧对等弦，这是证明关键要件；二是夹在平行弦的弧相等，弦相等，这是解题推理条件的有效桥梁；三是活用HL证明直角三角形全等；四是运用矩形的判定定理.

9、∴AD+DE=BF+FE

10、∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

11、从一个问题的证明谈起(J)，金磊，中等数学2010(3)天津师大出版社

12、刘耀忠——例析圆锥曲线几何意义的应用

13、彭光焰——谈三角公式应用的教学与学生能力的培养

14、注明初中几年级的学生即可。

15、由MN//AD得∠CJM=∠DAC=∠DIC,

16、则IJMC共圆，则IJ⊥AC。

17、在论浮体中、他论证了浮体定律。

18、阿基米德受家庭的影响，从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。

19、邹生书——过定点直线的7个经典问题与解答

20、如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。

五、

1、阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

2、若两线相交，不妨设交点为P，则PA=PD,PB=PC，

3、埃拉托色尼博学多才，尤其在地理学方面作出了卓越的贡献。他著有《地理学》一书，奠定了普通地理学的科学体系。他主张地圆说，根据埃及南北两地日倾角的差数，计算出地球的圆周长度为6000米，即690公里，与实际值(约008公里)十分接近。他还推测从西班牙绕过非洲南端，可能航行到印度(这一设想直至1700多年以后才得以实现)。

4、∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，

5、余铁青——巧用变更主元法简解高考数学题

6、又M为BC中点，则N为CX中点，

7、又XE//AC,则NE=NF;

8、史料记载：公元前267年，阿基米德被父亲送到埃及的亚历山大城跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习。亚历山大城位于尼罗河口，是当时世界的知识、文化贸易中心，学者云集，人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达。阿基米德在亚历山大跟随过许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里德，阿基米德在这里学习和生活了许多年，他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，对其后的科学生涯中作出了重大的影响，奠定了阿基米德日后从事科学研究的基础。

9、阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。

10、他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。

11、折弦：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该圆的一条折弦.圆中有无数条折弦.

12、∴∠ECA+∠EBA=180°，

13、邹生书数学2021年第三季度受读者欢迎的46篇解题文章

14、(证明)延长CB到点F，使BF=BA，

15、高振宁：2020年新高考山东卷数学第21题解法研究

16、∴AH=CD，MH=MD.

17、邓启龙——由Nesbitt不等式引发的探究

18、邓启龙——三角形中与角有关的几个等式

19、折弦角：有公共端点的圆的两条弦组成的角；公共的端点叫做折点，两条弦叫做折弦角的两边.有了这个概念，就可以用文字叙述两个推论：

20、他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，在其后的科学生涯中作出了重大的贡献。

1、∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)

2、他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。

3、阿基米德的数学思想中蕴涵微积分，阿基米德的《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。

4、张甜甜：一道课本数列例题及变式的多视角求解

5、 阿基米德在力学方面的成绩为突出，这些成就主要集中在静力学和流体静力学方面。

6、我这几年有印象的是在湖北黄东坡先生编写的新思维上面看到的。

7、洪一平——2021年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题逐题解析

8、杨俊等——实数比大小压轴选择题解法研讨

9、∵∠MAB=∠MCB，

10、结论①：AD＝DC＋BC

11、1 、预先准备好的实验装置，水，沙子，一次性的匙子，2个杯子。

12、2021年第一季度受读者欢迎的51篇数学解题文章

13、(说明)这个问题还有一些其他的处理方法，大家可以进一步研究一下.

14、新教材一道易错零点问题的纠错分析

15、地球是球形这个概念的出现,可上溯到公元前六世纪.当时,希腊阿基米德是世界上早提出地球是圆的的人,他通过观察月食时地球的影子得出的

16、 2) 慢慢放开控制杠杆高度的绳子，使其慢慢向下运动。

17、即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA.

18、邹生书——椭圆参数方程详解2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试第11题

19、∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,

20、英国人希思(T·L·Heath，1861～1940)编的《阿基米德全集》未见收录，当然我国在1998年根据希思本由朱恩宽、李文铭译，叶彦润、常心怡校的中文版《阿基米德全集》(陕西科技出版社)也就没有收录阿基米德折弦定理。(虽然这本全集中未收录折弦定理，但一些竞赛书上还是给予了介绍)

1、 1) 用匙子调整杠杆中右边小杯子里沙子的数量，使杠杆保持平衡。

2、一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！(意为发现了)”。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了”，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看

3、垂径定理的原命题是“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，我们首先从它的诸多逆命题中找出一个：“过弦所对的弧的中点向弦做垂线，则该垂线也平分弦”。本来平平无奇，但是阿基米德从中看出了玄机，提出：如果条件中的弦被折成两段，即直线段AB变成折线段ACB，结果是否不变？这就是著名的“阿基米德折弦定理”：

4、∴∠MDC=90°=∠H

5、∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.

6、他在研究机械的过程中，发现了杠杆原理，并利用这一原理设计制造了许多机械。

7、∴AH=CD，MH=MD

8、如图，在CD上截取DG=DB，

9、已知：M点是弧AB的中点，AC+CB是圆中折

10、点评：这是折弦定理在圆内接等边三角形中的具体应用，这种证明方法，让截长或补短等繁琐的证明得以简化，加速了证明的进程，使得定理及其推论展现了解题的重要性，彰显了定理的重要性，特别是灵活运用等边三角形的性质，确定折弦在弧或对弧的中点，成为破解问题的关键.

11、则CJ=2ab/CK=b+c;

12、杨俊——加权将军饮马问题的多种解法

13、这道题，是道奥数题，其实是著名的阿基米德折弦定理。此题证明，也是稍微动点小脑筋，然后只要你熟悉了圆中的角和线的相关定理，这题也不是很难的。

14、贺凤梅——2019年全国卷I第16题的8种解法

15、所以很多人把这道题忘记了。